Оптимизация в центре теории экономики. Какие существуют методы оптимизации? Методы оптимизации управленческих решений Оптимизация теория

1. Задачи математического программирования

где - скалярная функция на конечномерном множестве:

• - задачи линейного программирования (ЛП): - линейная, допустимое множество Х - выпукло, задается линейными уравнениями и неравенствами. (Ядро ЛП - сиплекс-метод; теория двойственности, функция Лагранжа, существование седловой точки)
• - задачи целочисленного ЛП (оптимальные решения Z);
• - задачи квадратичного программирования;
• - задачи дискретного программирования (допустимое множество - конечно);
• - задачи выпуклого программирования (Х - выпукло, - выпуклая; теорема Куна-Таккера - аналог теории двойственности в ЛП);
• - задачи невыпуклого программирования.
• 2. Задачи многокритериальной оптимизации (критерий оптимальности состоит из нескольких скалярных функций, которые нужно максимизировать или минимизировать).
• 3. Задачи вариационного исчисления.

Задача ВИ: найти, Х - произвольное множество, например, - функционал, аргументом которого чаще всего являются функции (т.е. - подмножество функционального пространства). Для ВИ характерно то, что множество Х - чаще всего является пространством непрерывно дифференцируемых функций.

4. Задачи оптимального управления.

Классический пример задачи ОУ - задача о полете ракеты.

Процесс движения ракеты задается дифференциальным уравнением, начальными условиями, .

Для задачи ОУ характерны разные типы переменных: фазовые (положение в пространстве) и параметры управления (- множество допустимых управлений, которое обычно является множеством кусочно-непрерывных функций).

Кроме того, обычно, .

Требуется так выбрать управление, чтобы минимизировать определенный функционал (расход топлива) минимизировать, при этом попасть в определенную точку пространства.

Постановка классической задачи оптимизации

Целевая функция, значение которой характеризуют степень достижения цели (во имя которой поставлена или решается задача);

Х - множество допустимых решений, среди элементов которого осуществляется поиск; - n-мерное евклидово пространство.

Определение 1. Точка называется точкой локального минимума [максимума] функции на множестве Х, если существует окрестность точки такая, что справедливо.

Иначе говоря, условный максимум (минимум) в точке - это наибольшее (наименьшее) значение функции по отношению не ко всем точкам из некоторой окрестности точки, а только к тем из них, которые принадлежат множеству X.

Следует заметить, что сама функция может не иметь экстремума, но иметь условный экстремум.

Определение 2. Точка называется точкой глобального (абсолютного) минимума [максимума] функции на множестве Х, если функция достигает в этой точке своего наименьшего [наибольшего] значения, т.е. .

Замечания.

• 1) Задача сводится к задаче поиска минимума следующим образом: .
• 2) Если, то задача (1) называется задача безусловной оптимизации. Если Х задается условиями (ограничениями), накладываемыми на x, то задача (1) называется задачей условной оптимизации.
• 3) Обозначим - множество точек глобального минимума функции на множестве Х.

Тогда решить задачу (1) означает:

Найти множество и значение целевой функции в точках этого множества;

• - если, то найти;
• - убедиться, что функция не ограничена снизу на Х;
• - убедиться в том, что.

Определение 1. Градиентом непрерывно дифференцируемой функции в точке x называется столбец-вектор, элементами которого являются частные производные первого порядка, вычисленные в данной точке:

Определение 2. Матрицей Гессе дважды непрерывно дифференцируемой в точке x функции называется матрица частных производных второго порядка, вычисленных в данной точке:

Матрица Гессе является симметрической матрицей размера.

Градиент функции направлен по нормали к поверхности уровня (т.е. перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в точке х) в сторону наибольшего возрастания функции в данной точке.

Вектор антиградиента - вектор, равный по модулю вектору градиента, но противоположный по направлению.

Вектор антиградиента указывает направление наибольшего убывания функции в данной точке.

С помощью градиента и матрицы Гессе, используя разложение по формуле Тейлора, приращение функции в точке x может быть записано в виде:

Евклидова норма вектора

Сумма всех слагаемых разложения, имеющих порядок выше второго относительно приращения аргумента.

Выражение называется квадратичной формой от переменных.

Следовательно, в стационарной точке (в которой градиент функции равен нулю) знак приращения функции, совпадает со знаком выражения.

Определение 3. Квадратичная форма (а также соответствующая матрица Гессе) называется:

положительно определенной (>0), если для любого ненулевого выполняется неравенство;

отрицательно определенной (), если для любого ненулевого выполняется неравенство;

положительно полуопределенной (), если для любого выполняется неравенство 0 и имеется отличный от нуля вектор, для которого =0;

отрицательно полуопределенной (), если для любого выполняется неравенство 0 и имеется отличный от нуля вектор, для которого;

неопределенной (), если существуют такие векторы, что выполняются неравенства, ;

тождественно равной нулю (), если для любого выполняется.

Критерий Сильвестра. 1) Для того чтобы квадратичная форма с матрицей являлась положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры матрицы были положительны.

2) Для того чтобы квадратичная форма с матрицей являлась отрицательно определенной необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры матрицы нечетного порядка были отрицательны, а угловые миноры четного порядка - положительны.

Теорема (Достаточные условия безусловного экстремума) Если у дважды непрерывно дифференцируемой в стационарной точке функции ее второй дифференциал в этой точке является положительно определенной квадратичной формой, то точка является точкой строгого минимума, а если отрицательно определенной, то - точкой строгого максимума, если же - неопределенной формой, то экстремума в рассматриваемой точке нет.

Пример:

положительно определена при любом Х, поэтому точка (2, 4, 6) является точкой локального минимума, а так как это единственная стационарная точка, то она же является и точкой глобального минимума.

Таким образом, для решения задачи оптимизации классическим методом необходимо решить систему уравнений, что невозможно сделать аналитически за исключением очень узкого класса таких систем (например, система линейных уравнений невысокого порядка). Затем придется еще устанавливать определенность гессиана, что тоже является совсем нетривиальной задачей в случае больших размерностей. Все это приводит к необходимости разрабатывать итерационные процедуры решения задач оптимизации.

Наиболее приемлемый вариант решения, которое принимается на управленческом уровне относительно любого вопроса, принято считать оптимальным, а сам процесс его поиска - оптимизацией.

Взаимозависимость и сложность организационных, социально-экономических, технических и иных аспектов управления производством в настоящее время сводится к принятию управленческого решения, которое затрагивает большое количество разного рода факторов, тесно переплетающихся друг с другом, ввиду чего становится невозможным произвести анализ каждого отдельно с использованием традиционных аналитических методов.

Большинство факторов выступают определяющими в процессе принятия решения, и они (по своей сути) не поддаются какой-либо количественной характеристике. Также существуют и такие, которые практически неизменны. В связи с этим возникла необходимость в разработке особых методов, способных обеспечить выбор важных управленческих решений в рамках сложных организационных, экономических, технических задач (экспертные оценки, исследование операций и методы оптимизации и др.).

Методы, направленные на исследование операций, применяются в целях поиска оптимальных решений в таких областях управления, как организация процессов производства и перевозок, планирование крупномасштабного производства, материальное и техническое снабжение.

Методы оптимизации решений заключаются в исследовании посредством сравнения числовых оценок ряда факторов, анализ которых традиционными методами осуществить нельзя. Оптимальное решение - наилучшее среди возможных вариантов относительно экономической системы, а наиболее приемлемое в отношении отдельно взятых элементов системы - субоптимальное.

Сущность методов исследования операций

Как уже было упомянуто ранее, они формируют методы оптимизации управленческих решений. Их основа - математические (детерминированные), вероятностные модели, представляющие исследуемый процесс, вид деятельности или систему. Данного рода модели представляют количественную характеристику соответствующей проблемы. Они служат базой для принятия важного управленческого решения в процессе поиска оптимально приемлемого варианта.

Перечень вопросов, которые играют существенную роль для непосредственных руководителей производства и которые разрешаются в ходе использования рассматриваемых методов:

• степень обоснованности выбранных вариантов решений;
• насколько они лучше альтернативных;
• степень учета определяющих факторов;
• каков критерий оптимальности выбранных решений.

Данные методы оптимизации решений (управленческих) нацелены на поиск оптимальных решений для как можно большего количества фирм, компаний либо их подразделений. Они основаны на существующих достижениях статистических, математических и экономических дисциплин (теории игр, массового обслуживания, графиков, оптимального программирования, математической статистики).

Методы экспертных оценок

Данные методы оптимизации управленческих решений применяются, когда задача частично либо полностью не подвержена формализации, а также ее решение не может быть найдено посредством математических методов.

Экспертиза - это исследование сложных особых вопросов на этапе выработки определенного управленческого решения соответствующими лицами, которые владеют специальным багажом знаний и внушительным опытом, для получения выводов, рекомендаций, мнений, оценок. В процессе экспертного исследования применяются новейшие достижения и науки, и техники в рамках специализации эксперта.

Рассматриваемые методы оптимизации ряда управленческих решений (экспертных оценок) эффективны в решении нижеперечисленных управленческих задач в сфере производства:

1. Изучение сложных процессов, явлений, ситуаций, систем, которые характеризуются неформализованными, качественными характеристиками.
2. Ранжирование и определение согласно заданному критерию существенных факторов, выступающих определяющими относительно функционирования и развития производственной системы.
3. Рассматриваемые методы оптимизации особо эффективны в области прогнозирования тенденций развития системы производства, а также ее взаимодействия с внешней средой.
4. Повышение надежности экспертной оценки преимущественно целевых функций, которые имеют количественный и качественный характер, посредством усреднения мнений квалифицированных специалистов.

И это лишь некоторые методы оптимизации ряда управленческих решений (экспертной оценки).

Классификация рассматриваемых методов

Методы решения задач оптимизации, исходя из числа параметров, можно подразделить на:

• Методы оптимизации одномерной.
• Методы оптимизации многомерной.

Их еще называют "численные методы оптимизации". Если быть точным, это алгоритмы ее поиска.

В рамках применения производных методы бывают:

• прямые методы оптимизации (нулевого порядка);
• градиентные методы (1-го порядка);
• методы 2-го порядка и др.

Большая часть методов многомерной оптимизации приближена к задаче второй группы методов (одномерной оптимизации).

Методы одномерной оптимизации

Любые численные методы оптимизации основаны на приближенном либо точном вычислении таких ее характеристик, как значения целевой функции и функций, которые задают допустимое множество, их производные. Так, для каждой отдельной задачи вопрос тносительно выбора характеристик для вычисления может быть решен в зависимости от существующих свойств рассматриваемой функции, имеющихся возможностей и ограничений в хранении и обработке информации.

Существуют следующие методы решения задач оптимизации (одномерной):

• метод Фибоначчи;
• дихотомии;
• золотого сечения;
• удвоения шага.

Метод Фибоначчи

Для начала необходимо установить координаты т. x на промежутке в качестве числа, равного отношению разницы (x - a) к разнице (b - a). Следовательно, a имеет относительно промежутка координату 0, а b - 1, средняя точка - ½.

Если допустить, что F0 и F1 между собой равны и принимают значение 1, F2 будет равно 2, F3 - 3, …, то Fn = Fn-1 + Fn-2. Итак, Fn - числа Фибоначчи, а поиск Фибоначчи - это оптимальная стратегия так называемого последовательного поиска максимума ввиду того, что она довольно тесно связана с ними.

В рамках оптимальной стратегии принято выбирать xn - 1 = Fn-2: Fn, xn = Fn-1: Fn. При любом из двух интервалов ( либо ), каждый из которых может выступать в качестве суженного интервала неопределенности, точка (унаследованная) относительно нового интервала будет иметь либо координаты , либо . Далее, в качестве xn - 2 принимается точка, которая имеет относительно нового промежутка одну из представленных координат. Если использовать F(xn - 2), значение функции, которое унаследовано от прежнего промежутка, становится возможным сокращение интервала неопределенности и передача в наследство одного значения функции.

На финишном шаге получится прейти к такому интервалу неопределенности, как , при этом средняя точка унаследована от предыдущего шага. В качестве x1 устанавливается точка, которая имеет относительную координату ½+ε, а окончательный интервал неопределенности будет или [½, 1] по отношению к .

На 1-м шаге длина данного интервала сократилась до Fn-1: Fn (с единицы). На финишных шагах сокращение длин соответствующих интервалов представляется числами Fn-2: Fn-1, Fn-3: Fn-2, …, F2: F3, F1: F2 (1 + 2ε). Итак, длина такого интервала, как окончательный вариант примет значение (1 + 2ε) : Fn.

Если пренебречь ε, то асимптотически 1: Fn будет равно rn, при этом n→∞, а r = (√5 - 1) : 2, что приблизительно равно 0,6180.

Стоит отметить, что асимптотически для значительных n каждый последующий шаг поиска Фибоначчи существенно сужает рассматриваемый интервал с вышеуказанном коэффициентом. Данный результат требуется сравнить с 0,5 (коэффициент сужения интервала неопределенности в рамках метода бисекции для поиска нуля функции).

Метод дихотомии

Если представить некую целевую функцию, то для начала потребуется найти ее экстремум на промежутке (a; b). Для этого ось абсцисс делится на четыре эквивалентные части, затем необходимо определить значение рассматриваемой функции в 5 точках. Далее выбирается минимум среди них. Экстремум функции должен лежать в пределах промежутка (a"; b"), который прилегает к точке минимума. Границы поиска сужаются в 2 раза. А если минимум расположен в т. a либо b, то он сужается во все четыре раза. Новый интервал также разделяется на четыре равных отрезка. В связи с тем, что значения данной функции в трех точках были определены на предыдущем этапе, далее требуется вычислить целевую функцию в двух точках.

Метод золотого сечения

Для существенных значений n координаты таких точек, как xn и xn-1 приближены к 1 - r, равное 0,3820, а r ≈ 0,6180. Толчок с данных значений весьма близок к искомой оптимальной стратегии.

Если предположить, что F(0,3820) > F(0,6180), то тогда очерчивается интервал . Однако ввиду того, что 0,6180 * 0,6180 ≈ 0,3820 ≈ xn-1, то в данной точке F уже известна. Следовательно, на каждом этапе, начиная со 2-го, необходимо только одно вычисление целевой функции, при этом каждый шаг сокращает длину рассматриваемого интервала с коэффициентом 0,6180.

В отличие от поиска Фибоначчи, в данном методе не требуется фиксация числа n еще до начала поиска.

«Золотое сечение» участка (a; b) - сечение, при котором отношение его r длины к более крупной части (a; c) идентично отношению большей части r к меньшей, то есть (a; с) к (c; b). Нетрудно догадаться, что r определяется по вышерассмотренной формуле. Следовательно, при существенных n метод Фибоначчи переходит в данный.

Метод удвоения шага

Суть - поиск направления убывания целевой функции, движение в данном направлении в случае удачного поиска с постепенно возрастающим шагом.

Сначала определяем начальную координату M0 функции F(M), минимальное значение шага h0, направление поиска. Затем определяем функцию в т. M0. Далее совершаем шаг и находим значение данной функции в данной точке.

В случае если функция меньше значения, которое было на предыдущем шаге, следует произвести следующий шаг в том же направлении, предварительно увеличив его в 2 раза. При ее значении, которое больше предыдущего, потребуется поменять направление поиска, а затем начать двигаться в выбранном направлении с шагом h0. Представленный алгоритм можно модифицировать.

Методы многомерной оптимизации

Вышеупомянутый метод нулевого порядка не берет в расчет производные минимизированной функции, ввиду чего их использование может быть эффективно в случае возникновения каких-либо трудностей с вычислением производных.

Группу методов 1-го порядка еще называют градиентными, потому что для установления направления поиска применяют градиент данной функции - вектор, составляющими которого выступают частные производные минимизированной функции по соответствующим оптимизированным параметрам.

В группе методов 2-го порядка применяются 2 производные (их использование достаточно ограничено ввиду наличия трудностей в их вычислении).

Перечень методов безусловной оптимизации

При использовании многомерного поиска без применения производных методы безусловной оптимизации следующие:

• Хука и Дживса (осуществление 2 видов поиска - по образцу и исследующий);
• минимизации по правильному симплексу (поиск точки минимума соответствующей функции посредством сравнения на каждой отдельной итерации ее значений в вершинах симплекса);
• циклического координатного спуска (использование в качестве ориентиров поиска координатных векторов);
• Розенброка (основан на применении одномерной минимизации);
• минимизации по деформированному симплексу (модификация метода минимизации по правильному симплексу: добавление процедуры сжатия, растяжения).

В ситуации использования производных в процессе многомерного поиска выделяют метод наискорейшего спуска (наиболее фундаментальная процедура минимизации дифференцируемой функции с несколькими переменными).

Также выделяют еще такие методы, которые используют сопряженные направления (Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла). Его суть - преставление направлений поиска как Dj*grad(f(y)).

Классификация математических методов оптимизации

Условно, исходя из размерности функций (целевых), они бывают:

• с 1 переменной;
• многомерные.

В зависимости от функции (линейная или нелинейная) существует большое количество математических методов, направленных на поиск экстремума для решения поставленной задачи.

По критерию применения производных математические методы оптимизации подразделяются на:

• методы вычисления 1 производной целевой функции;
• многомерные (1-я производная-векторная величина-градиент).

Исходя из эффективности вычисления, существуют:

• методы быстрого вычисления экстремума;
• упрощенного вычисления.

Это условная классификация рассматриваемых методов.

Оптимизация бизнес-процессов

Методы здесь могут использоваться различные, в зависимости от решаемых проблем. Принято выделять следующие методы оптимизации процессов бизнеса:

• исключения (уменьшение уровней существующего процесса, ликвидация причин помех и входного контроля, сокращение транспортных путей);
• упрощения (облегченное прохождение заказа, снижение комплексности продуктовой структуры, распределение работ);
• стандартизации (использование специальных программ, методов, технологий и т. д.);
• ускорения (параллельный инжиниринг, стимуляция, оперативное проектирование опытных образцов, автоматизация);
• изменение (перемены в области сырья, технологий, методов работ, кадрового расположения, рабочих систем, объема заказа, порядка обработки);
• обеспечения взаимодействия (в отношении организационных единиц, персонала, рабочей системы);
• выделения и включения (относительно необходимых процессов, комплектующих).

Налоговая оптимизация: методы

Российское законодательство предоставляет налогоплательщику весьма богатые возможности сокращения размеров налогов, ввиду чего принято выделять такие способы, направленные на их минимизацию, как общие (классические) и специальные.

Общие методы налоговой оптимизации следующие:

• проработка учетной политики компании с максимально возможным применением предоставленных российским законодательством возможностей (порядок списания МБП, выбор метода расчета выручки от реализации товара и др.);
• оптимизация посредством договора (заключение льготированных сделок, четкое и грамотное использование формулировок и т. п.);
• применение разного рода льгот, налоговых освобождений.

Вторую группу методов также могут использовать все фирмы, однако они все же имеют достаточно узкую область применения. Специальные методы оптимизации налогов следующие:

• замены отношений (операция, которая предусматривает обременительное налогообложение, замещается другой, которая позволяет достичь аналогичную цель, но при этом использовать льготный порядок налогового обложения).
• разделения отношений (замена лишь части хозяйственной операции);
• отсрочки налогового платежа (перенесение момента появления объекта налогообложения на другой календарный период);
• прямого сокращения объекта налогового обложения (избавление от многих налогооблагаемых операций либо имущества без оказания негативного влияния на основную хозяйственную деятельность компании).

УДК 711.4 МАЗАЕВ А. Г

Методы и критерии оптимизации в современной теории расселения

В статье рассматривается понятие оптимизации в градостроительстве. Показано происхождение термина «оптимизация», его связь с основными терминами в области методологии науки и, в частности, экономики. Показаны возможности дальнейшего развития понятия оптимизации в градостроительстве. В качестве выводов предложен набор критериев оптимизации в приложении к градостроительству.

Ключевые слова: оптимизация в градостроительстве, теория оптимизации, критерии и методы оптимизации, критерий Парето.

METHODS AND CRITERIA OPTIMIZATION IN THE MODERN THEORY OF SETTLEMENT

In clause the concept of town-planning optimization is considered. The origin of the term optimization, its communication with the basic concepts in the field of methodology of a science, economy is shown. Opportunities of development of concept of optimization in modern town-planning are considered. The set of criteria of optimization which is possible in modern town-planning activity is offered.

Keywords: optimization in town-planning, theory of optimization, oriteria and methods of optimization, сriterion Pareto.

Мазаев Антон

Григорьевич

кандидат архитектуры, советник РААСН, зав. лабораторией Филиала ФГБУ «ЦНИИП Минстроя России» УралНИИпроект

e-mail: [email protected]

Цель данной статьи состоит в том, чтобы представить теоретическое рассмотрение понятия «оптимизация» применительно к градостроительным объектам - городам и системам расселения. Оптимизация расселения крупного региона России на примере Уральского федерального округа является темой проводимого автором научного исследования. Актуальность этой темы связана с назревшим вопросом упорядочения развития региональных систем расселения Национальной системы России, развитие которой приняло неуправляемый и неравновесный характер. Методология разработки темы строится на формируемой в настоящее время теории геополитического развития расселения.

Понятие оптимизации в современной науке

Необходимо уточнить понятие оптимизации в теории науки, а затем дать его определение применительно к теории расселения. Первоначально термин «оптимизация» возник в математике: «Оптимизация - в математике, информатике и исследовании операций задача нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных и/или нелинейных равенств и/или неравенств. Теорию и методы решения задачи оптимизации изучает

математическое программирование... (Оно) занимается математическими методами решения задач нахождения наилучших вариантов из всех возможных» . Большая Советская Энциклопедия уточняет: «Оптимизация - процесс нахождения экстремума (глобального максимума или минимума) определенной функции или выбора наилучшего (оптимального) варианта из множества возможных. Наиболее надежным способом нахождения наилучшего варианта является сравнительная оценка всех возможных вариантов (альтернатив)» . Иными словами, критериев оптимизации может быть много в отношении одного и того же явления, системы. Оптимизировать можно что угодно и по значительному количеству критериев оптимизации. Причем критерии эти могут находиться между собой в противоречии, и для оптимизации необходимо определиться с ними, иначе решение оптимизационной задачи окажется неверным, т. е. ложным, опасным и неэффективным. Источники по-разному толкуют содержание оптимизации, исходя из целей и задач конкретной научной дисциплины. Например, словарь по экономике так трактует это понятие: «Оптимизация - это определение значений экономических показателей, при которых достигается оптимум, то есть оптимальное, наилучшее состояние системы. Чаще всего оптимуму соответствует достижение наивысшего результата при данных затратах ресурсов

или достижение заданного результата при минимальных ресурсных затратах» . Иначе говоря, оптимизация связывается с ресурсными затратами и эффективностью их применения.

Понятие оптимизации в экономической теории

Именно в экономике вопросы оптимизации поднимаются наиболее часто как актуальная научная и практическая задача. В рамках экономических теорий выработана развитая теория оптимизации, причем у экономики и у теории расселения сходный объект изучения - общество в целом, его хозяйственные потребности, с той разницей, что теория расселения занимается пространственным аспектом жизнедеятельности человека.

Экономисты дают большое число определений оптимизаций, которые могут быть распространены и на вопросы теории расселения. «Оптимизация - максимизация экономического благосостояния общества по отношению к макроэкономическим целям» . Отсюда можно вывести понимание оптимизации как наращивания некоего ресурса, который отождествляется с благом. В данном случае речь идет об экономическом благосостоянии как ключевом благе, причем оптимизация связана с достижением не оптимального значения или множества значений, а неограниченного наращивания этого блага.

Наиболее емкое и глубокое определение оптимизации дал в свое время В. Парето: «...Любое изменение, которое никому не причиняет убытков и которое приносит некоторым людям пользу (по их собственной оценке), является улучшением» . Этот критерий имеет весьма широкий смысл: он применяется при решении таких задач, когда оптимизация означает улучшение одних показателей при условии, чтобы другие не ухудшались, а также таких, когда реализуется композиционный подход к построению плана развития экономической системы, учитывающий интересы составляющих ее подсистем (групп экономических объектов). Приведенное выше определение можно формализовать следующим утверждением: состояние экономики S* считается лучшим, по В. Парето, чем другое состояние Б1, если хотя бы один экономический субъект предпочитает S*, а все остальные, по меньшей мере, не делают различий между этими состояниями, но в то же время нет таких, кто предпочитает 81; согласно В. Парето, состояние 8* безразлично состоянию Б1, если все экономические субъекты не делают между ними различий; наконец, оно оптимально, если не существует такого допустимого состояния экономики, которое было бы лучше, чем это. Критерий оптимальности В. Парето имеет большое методологическое значение, так как дает понимание, какое изменение в экономической системе можно назвать позитивным, т. е. направленным на общее ее улучшение, а какое нет. Рост экономического благосостояния одних субъектов за счет других не может быть признан позитивным по данному критерию. На Иллюстрации 1 показано действие критерия В. Парето в виде графика, показана область «приемлемых значений», которые обеспечивают улучшение хотя бы одного показателя, не приводя к ухудшению остальных.

Мы считаем, что единого развернутого определения оптимизации для всех видов человеческой деятельности невозможно дать в силу их принципиально различного характера. Исследования по проблемам оптимизации получили значительное развитие в СССР в связи с плановым характером его экономики. Вопросы оптимизации экономики занимали советских ученых вплоть до перехода к рыночной экономике. Причем острота проблемы

Иллюстрация 1. Оптимальность по В. Парето

оптимизации в экономике не снижалась в силу быстрого роста номенклатуры производимой продукции, размещения значительного числа производств на большой территории, как следствие, большого объема перевозок грузов. Аналогичные вопросы стояли и перед западными учеными, особенно вопрос оптимизации остро встал во время Второй мировой войны, когда возникла необходимость аналогичного централизованного управления большими объемами войск, техники и снаряжения. За последние десятилетия были разработаны множество теоретических и прикладных методик оптимизации, которые в систематизированном виде представлены на Иллюстрации 2.

Понятие оптимизации в градостроительной науке

Данное понятие в градостроительстве использовалось в советский период в нескольких смыслах. В первую очередь, оно было связано с понятием экономической оптимизации, обслуживанием экономических интересов. Градостроительство понималось как один из инструментов оптимизации, чьей задачей является примирение интересов производственного комплекса с интересами населения. Возникали различные концепции оптимизации, к числу важнейших следует отнести концепцию ГСНМ - групповых систем населенных мест. Она представляла собой попытку оптимизации расселения путем многофакторого сокращения его недостатков - оторванности сельского населения от мест приложения труда и центров культуры, чрезмерного разрастания городов, создающего огромную нагрузку на биосферу.

Реализация концепции ГСНМ была предпринята в рамках Генеральной схемы расселения СССР, разработанной в 1970-е гг. Создание ГСНМ предполагалось для оптимизации набравшего к тому времени процесса агломерирования больших и средних городов. Вместо произвольного «слипания» населенных пунктов должна была быть создана их иерархическая организация. Другим следствием оптимизации в градостроительстве

Иллюстрация 2. Основные методы решения задач оптимизации. Систематическое обобщение ее различных методик

стало выяснение вопроса относительно так называемой «оптимальной величины» городов. Подразумевалось, что раз существует чрезмерное перенаселение некоторых городов, то есть и оптимальная его величина, которая может быть вычислена градостроительной наукой. «...Понятие "оптимального"города оставалось одним из наиболее существенных элементов советской градостроительной политики. .Не было сомнения в том, что такой оптимум существует. Разногласия начинались при попытке определить, какую именно людность следует считать оптимальной. В 1920-е гг. оптимальным казалось 50-тысячное население. Оно было достаточным для того, чтобы проявились выгоды от экономии на масштабе производства и городской инфраструктуре, и в то же время не столь большим, чтобы разрушить чувство общности и социалистическую коммунальную этику. В середине 1950-х гг. оценки оптимума колебались между 150 тысячами и 200 тысячами, а к 1960 г. они подскочили уже к 250-300 тысячам человек, и сама правомерность этой концепции. была поставлена под сомнение» . Спор оказался схоластичен, потому что оптимальность размера города зависит не от абсолютной ве-

личины численности его населения, а от экономико-географического положения в системе расселения. Иными словами, важна не абсолютная, а относительная величина города, в каждом конкретном случае разная.

Вопрос об этой оптимальной величине города по-новому остро встал в 1960-1970-е гг., когда в СССР наметился рост числа крупных и крупнейших городов, стали заметны их недостатки. В статье с характерным названием «Максимальные размеры города» (1970) утверждалось: «С точки зрения городского хозяйства, наиболее экономичны города, в которых меньше сумма капиталовложений и эксплуатационных расходов в пересчете на одного жителя. Неэкономичными оказываются как слишком маленькие города, так и города-гиганты. В городском строительстве проявляется общий для всех областей экономики принцип, в соответствии с которым крупная хозяйственная единица эффективнее малой. В маленьких городках с числом жителей до 20 тысяч приходится создавать мелкие, малопроизводительные коммунальные и бытовые предприятия. С ростом городов, они становятся экономичнее. <.> С дальнейшим ростом численности населения положение ухудшается, <.> невозможно

обеспечить нормальное функционирование города без крупного инженерно-технического строительства и таких видов транспорта, которые ранее не требовались» .

Авторы статьи считают, что им удалось найти ответ на оптимизационную задачу: «Взвешивая все "за" и "против", во многих странах, в том числе и в СССР, градостроители и экономисты пришли к выводу, что в настоящее время следует ограничить рост городов с миллионным населением, стимулируя развитие городов средней величины (курсив наш. - А. М.)» .

Видим, что оптимальным признается город средней величины, с численностью населения от 50 тыс. до 100 тыс. жителей. С этим выводом не согласен В. И. Переведенцев, который видит решение вопроса опять-таки в сфере экономики, но более глубоко. Он показывает нелинейный характер зависимостей экономической эффективности от величины города: «Город - это не только дома, где живут люди, но и заводы, где они работают. Оказывает ли размер города влияние на производительность труда? Да, оказывает. Большой город выгоден с точки зрения производства. Это выгоды совместного использования

энергетики, транспорта, водопроводного и канализационного хозяйств. Это обеспеченность квалифицированной рабочей силой... Территориальная концентрация промышленности повышает производительность труда. Поэтому большой город сам создает предпосылки для дальнейшей концентрации производства» . Далее автор отмечает, что «содержание» человека в очень большом городе обходится дороже, чем в среднем, но отдача от человека в таком городе, по его мнению, больше. Он указывает: «Принятое сейчас понимание оптимальных размеров города, на мой взгляд, неверно принципиально, методологически. Если иметь в виду не только потребление, но и производство, то оптимальным будет не тот город, в котором содержание человека дешевле, а тот, в котором разница между тем, что дает человек, и тем, что тратится на него, будет наибольшая» [Там же]. Получается модель «затраты - издержки» применительно к жителю данного города, которая показывает, что рост экономической эффективности может быть весьма длительным по мере роста размеров города, так как за счет кооперационного эффекта производительность труда может расти в широких пределах. Иными словами, оптимальным размером города может быть сколь угодно большой, если сохранится тенденция к росту экономической отдачи от каждого индивидуума.

При этом автор создает концепцию оптимальности размера города. С его точки зрения, оптимальность величины города вообще определяется по критерию соответствия величины города его предварительно запланированным значениям. «... Большинство неудобств большого города связано не с самой его величиной, а с градостроительными ошибками. Это ошибки прогноза роста города, несоответствие "оборудования" города его величине, чисто планировочные ошибки и, наконец, узко экономический подход к сфере обслуживания. Нередко строительство планируется на полмиллиона жителей, а вырастает город до миллиона. При этом все коммуникации, все коммунальное хозяйство, структура города и его планировка сохраняются в основном такими, как было намечено в начальном проекте» . По сути, на этом утверждении дискуссия об оптимальном размере города закрывается - оптимальным признается город, чье развитие соответствует его собственному генеральному плану.

Надо сказать, что по этому критерию найти оптимальные города весьма непросто, потому что, как показывают многочисленные исследования, ключевые положения генеральных планов практически никогда не выполнялись. Получается, что российские города хронически находятся в «неоптимизированном» состоянии.

В качестве завершения этой дискуссии стоит привести симптоматичную жалобу самого В. И. Пере-веденцева о том, что города в своем развитии уходят от состояния оптимальности, а не приходят к нему: «... Наиболее высокие темпы прироста населения имели города, в которых в 1959 г. было от 400 до 600 тысяч человек - свыше 35 процентов. По господствующим в нашем градостроительстве воззрениям, оптимальными считаются города с населением 50-200 тысяч человек, допустимыми - до 400 тысяч. Значит, быстрее всего росли города, вышедшие за пределы "допустимых". "Оптимальные" города росли тоже быстро, становясь неоптимальными (курсив наш. - А. М.)» .

С нашей точки зрения, данная дискуссия весьма плодотворна в научном плане, хотя практические результаты ее оказались отрицательными, так как оптимальный размер города так и не был найден. Тем не менее можно вычленить ее теоретический результат:

1 Концепция оптимизации города по одному ключевому параметру - величине населения - не получила должного теоретического и практического подтверждения. Не удалось четко сформулировать и обосновать такую величину. Не создано методики, позволяющей эффективно направлять развитие городов к оптимальным величинам.

2 Вопрос о том, существует ли такая оптимальная величина в принципе, остается открытым и до сих пор неразрешенным. Для его разрешения требуются новые методологические подходы, которые формируются в рамках проводимого исследования относительно оптимизации системы расселения Уральского федерального округа.

3 Возникло новое понимание понятия оптимальной величины города, своего рода не абсолютная, а относительная оптимальная величина, которая связана не с абсолютными, а относительными показателями. Причем наиболее четким таким показателем предлагается считать соответствие размеров города его параметрам, заданным в генеральном плане.

4 Авторы концепции оптимизации города просто подошли к своему вопросу на уровне, не адекватном проблеме. Нам представляется наиболее вероятным путем ее решения оптимизация не отдельного города, а именно системы расселения - региональной и национальной. Это связано с тем, что любой город существует только как элемент системы более высокого уровня, а именно системы расселения, и оптимизировать его в изоляции от этой системы представляется задачей мало выполнимой. Реальным масштабом, в котором возможна постановка и решение задачи оптимизации, является масштаб системы расселения. Определение размеров и уровня этой системы представляет собой дополнительную теоретическую задачу.

Виды оптимизационных задач в градостроительстве

Стало возможным выделить несколько ключевых критериев, по которым необходимо оценить задачу оптимизации расселения. Совокупность этих критериев является своего рода матрицей, которая должна раскрыть суть задачи оптимизации систем расселения.

1 По наличию или отсутствию предела роста оптимизируемого ресурса. При некоторых задачах оптимизации возможен теоретически ничем не ограниченный рост того показателя, который необходимо оптимизировать. Или, наоборот, существует некий финальный уровень, после которого рост показателя становится невозможным. В нашем случае мы предварительно считаем, что задача оптимизации расселения относится к первому варианту, так как нарастание показателя оптимизации связано с численностью населения, а данный показатель теоретически может нарастать неограниченно.

2 По наличию одного оптимума или нескольких оптимумов (оптимального множества). В зависимости от типа задачи у нее может быть один оптимум или некое множество оптимумов. В нашем случае можно предварительно описать задачу как имеющую несколько оптимумов в связи с тем, что возможно несколько вариантов оптимизации распределения на ограниченной плоской поверхности.

3 По выполнению критерия Парето (повышение параметра оптимизации у одних элементов не идет за счет снижения его у других элементов). В данной ситуации нужно ответить на вопрос - можно ли повышать уровень опти-

мизации одних элементов системы расселения, никогда не снижая его у других. Практика градостроительства показывает, что развитие крупной системы расселения с выполнением критерия Парето представляется невозможным. Развитие элементов системы расселения происходит, в том числе, и за счет перетока населения по иерархии расселения (как правило, с нижних на верхние уровни).

4 По какому количеству критериев должна проводиться оптимизация - одному или нескольким. Должна ли оптимизация быть многокритериальной или монокритериальной - вот наиболее крупная теоретическая проблема. Для ее решения необходимо привлечь уже наработанный методологический аппарат: в первую очередь необходимо указать, что на макроуровне жизнедеятельность общества формируется в результате взаимодействия трех его основных подсистем. По очередности своего возникновения их можно перечислить в таком порядке:

1) Природно-экологическая подсистема.

2) Социально-демографическая подсистема.

3) Экономическая подсистема.

В ходе исторического развития эти подсистемы последовательно порождали друг друга. Природно-экологическая подсистема как изначально существовавшая неизмеримо более длительное время, чем сам человек, породила его в ходе своего эволюционного развития. Основным направлением деятельности человека как разумного существа стало стремление обеспечить себе выживание и развитие за счет максимально эффективного использования природных ресурсов с одновременным стремлением максимально снизить свою зависимость от природных катаклизмов. В силу этого стремления создаваемая человеком социально-демографическая подсистема приобрела значительную автономию по отношению к природно-эколо-гической подсистеме. Между ними начали формироваться прямые и обратные связи и развиваться противоречия. Для их преодоления человеком создана экономическая подсистема, которая позволяет человеку резко увеличить объем производимых и потребляемых благ и тем самым закрепляет его отделение от природно-экологической подсистемы. Необходимо отметить, что субъектом в этой системе, безусловно, является социально-де-

мографическая подсистема, которая представляет собой совокупность человеческих индивидов, объединенных в различные сообщества по этническому, расовому, религиозному и иным признакам. На протяжении своей истории человечество живет и развивается в этом треугольнике сил: природа - социум - экономика.

Как видно, имеются три критерия, по которым можно оптимизировать систему расселения, в зависимости от того, какой приоритет развития выберет общество. При этом в рамках проведенного ранее исследования было выдвинуто следующее утверждение: территориальная система расселения, по нашему мнению, является элементом, который скрепляет воедино три подсистемы развития человеческого общества. Это происходит по нескольким причинам.

Во-первых, потому, что человечество в целом и любое человеческое сообщество, в частности, возникает и развивается на эволюционно сформировавшейся территории (в первую очередь сухопутной), которая представляет собой, прежде всего, биосферное пространство - зону, пригодную для существования биологических видов. Тем самым создание любых человеческих поселений всегда происходит, прежде всего, за счет отторжения и использования территории, принадлежащей биосфере. Природно-экологическая подсистема выполняет также очень важную функцию ограничителя развития остальных подсистем и задает специфику их развития в тех или иных условиях.

Во-вторых, развитие территориальной системы расселения является прямым отражением деятельности социально-демографической подсистемы. В территориальной системе расселения в концентрированной форме отражаются конкретные особенности социума, его история и настоящее, достигнутый им уровень развития и демографическая структура. Особенности эти проявляются пространственно через такие показатели, как численность и плотность населения, соотношение и распределение сельского и городского населения, направление и интенсивность миграционных потоков.

В-третьих, экономическая подсистема, являясь производной от социально-демографической подсистемы, является прямым ее пространственным продолжением, выполняющим в пространственном отношении несколько основных функций. Это обеспечение необходимых произ-

водственных процессов, организация транспортной связи между поселениями, добыча необходимых природных ресурсов. Экономическая подсистема, как и породившая ее социально-демографическая подсистема, может существовать и развиваться только в рамках при-родно-экологической подсистемы. Ее развитие в еще большей степени сокращает пространство природ-но-экологической системы, причем как непосредственно своими материальными размещенными в пространстве объектами, так и последствиями своей деятельности. Территориальная система расселения является связующим элементом всех подсистем человеческого общества, и в этом качестве является их синтезом. Вне и без территориальной системы расселения эти подсистемы существовать просто не могут.

Таким образом, мы имеем дело с неоднозначной ситуацией. С одной стороны, существуют три критерия оптимизации расселения: экологический, социальный и экономический. При этом в исследовании вводится в качестве ключевого совершено новый критерий оптимальности - геополитический. Дано первичное понятие этого критерия оптимизации, его содержание раскрыто следующим образом: наиболее адекватный уровень рассмотрения развития территориальных систем расселения - это национальный уровень. И реальной единицей территориальной системы расселения является национальная система расселения. Именно государственные границы являются ясными и обоснованными границами системы расселения.

В этой связи ставится вопрос: какую роль играет национальная система расселения в функционировании именно государства, а не вообще некоего абстрактного человеческого сообщества. По нашему мнению основной целью существования и функционирования национальной территориальной системы расселения является обеспечение максимально эффективного и продолжительного контроля над национальной территорией существующего государства и населяющей его нации. Территориальная система расселения является своего рода «структурой господства», обеспечивающей максимально эффективное освоение территории и имеющихся на ней ресурсов, обеспечение максимально эффективного

развития данного конкретного национального общества как в целом, так и его отдельных членов. И кроме этого - обеспечение наибольшей устойчивости нации от возможных неблагоприятных внешних воздействий. Соответствие или несоответствие этому главному критерию эффективного пространственного контроля является ключевым в оценке качества территориальной системы расселения.

Заключение

Таким образом, мы теоретически имеем целых четыре варианта ответа на поставленный вопрос о том, каков должен быть характер оптимизации в градостроительстве:

1 Оптимизация возможна по любому из трех отдельных параметров: экологическому, социальному или экономическому, что собственно и пытались сделать в советский период в рамках системы районной планировки, когда предполагалось возможным достичь оптимизации системы расселения по экономическому параметру, в его социалистическом понимании.

2 Оптимизация возможна (хотя бы теоретически) по всем трем отдельным параметрам одновременно, сгладив противоречия, которые существуют между ними. По своей сути, такая оптимизация близка к концепции устойчивого развития, которая базируется на стремлении к уравновешиванию социально-экономических потребностей общества и экологических возможностей их обеспечения.

3 Оптимизация по геополитическому параметру, когда обеспечение максимально эффективного и продолжительного контроля над национальной территорией существующего государства и населяющей его нации становится во главу угла. Данный тип оптимизации соответствует методологии данного исследования и представляется наиболее перспективным.

4 Оптимизация сразу по всем четырем параметрам, когда достигается одновременная оптимизация экологического, социального, экономического и геополитического параметров. Можно назвать данный тип оптимизации супероптимизацией, когда оптимизируются одновременно все параметры. Достижение такого состояния представляется весьма сомнительным, но его необходимо иметь в виду

в качестве идеального конечного результата.

Список использованной литературы

1 Шупер В. А. Самоорганизация городского расселения/Рос. открытый ун-т. М., 1995.

2 Покшишевский В. В. Заселение Сибири. Историко-географиче-ские очерки. М., 1951.

3 Бразовская Н. В. Методы оптимизации: учеб. пособие / Алтайский гос. техн. ун-т им. И. И. Ползунова [Центр дистанц. обучения]. Барнаул, 2000.

4 Большая Советская Энциклопедия. 3-е изд. М., 1975. Т. 19.

5 Райзберг Б. А., Лозовский Л. Ш., Стародубцева Е. Б. Современный экономический словарь. 2-е изд., испр. М., 1999.

6 Экономика: толковый словарь. М., 2000.

7 Переведенцев В. И. Методы изучения миграции населения, М., 1975.

8 Дубровский П. Н. Максимальные размеры города // Наука и техника. 1970. № 6.

9 Мазаев А. Г. Национальная территориальная система расселения как фактор контроля: геополитический подход // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2008. № 1. С. 32-37.

10 Мазаев А. Г. Формирование и развитие системы расселения Урала (XVII-XIX вв.): этапы и геополитические особенности // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2014. № 1. С. 10.

11 Мазаев А. Г. Анализ развития структуры системы расселения Урала (конец XIV - XX век) методом скользящих средних // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2014. № 3. С. 34.

На практике постоянно встречаются такие ситуации, когда достичь какого-то результата можно не одним, а многими различными способами. В подобной ситуации может оказаться и отдельно взятый человек, например, когда он решает вопрос о распределении своих расходов, и целое предприятие или даже отрасль, если необходимо определить, как использовать имеющиеся в их распоряжении ресурсы, чтобы добиться максимального выхода продукции, и, наконец народное хозяйство в целом. Естественно, при большом количестве решений должно быть выбрано наилучшее.

Успешность решения подавляющего большинства экономических задач зависит от наилучшего, наивыгоднейшего способа использования ресурсов. И от того, как будут распределены эти, как правило, ограниченные ресурсы, будет зависеть конечный результат деятельности.

Суть методов оптимизации (оптимального программирования) заключается в том, чтобы, исходя из наличия определенных ресурсов, выбрать такой способ их использования (распределения), при котором будет обеспечен максимум или минимум интересующего показателя.

Необходимым условием использования оптимального подхода к планированию (принципа оптимальности) является гибкость, альтернативность производственно-хозяйственных ситуаций, в условиях которых приходится принимать планово-управленческие решения. Именно такие ситуации, как правило составляют повседневную практику хозяйствующего субъекта (выбор производственной программы, прикрепление к поставщикам, маршрутизация, раскрой материалов, приготовление смесей).

Оптимальное программирование, таким образом, обеспечивает успешное решение целого ряда экстремальных задач производственного планирования. В области же макроэкономического анализа, прогнозирования и планирования оптимальное программирование позволяет выбрать вариант народнохозяйственного плана (программы развития), характеризующийся оптимальным соотношением потребления и сбережений (накоплений), оптимальной долей производственных капиталовложений в национальном доходе, оптимальным соотношением коэффициента роста и коэффициента рентабельности национальной экономики и т. д.

Оптимальное программирование обеспечивает получение практически ценных результатов, так как по своей природе оно вполне соответствует характеру исследуемых технико-экономических процессов и явлений. С математической и статистической точек зрения этот метод применим лишь к тем явлениям, которые выражаются положительными величинами и в своей совокупности образуют объединение взаимозависимых, но качественно различных величин. Этим условиям, как правило, отвечают величины, которыми характеризуются экономические явления. Перед исследователем экономики всегда имеется – некоторое множество разного рода положительных величин. Решая задачи оптимизации, экономист всегда имеет дело не с одной, а с несколькими взаимозависимыми величинами или факторами.

Оптимальное программирование можно применять лишь к таким задачам, при решении которых оптимальный результат достигается лишь в виде точно сформулированных целей и при вполне определенных ограничениях, обычно вытекающих из наличных средств (производственных мощностей, сырья, трудовых ресурсов и т. д.). В условия задачи обычно входит некоторая математически сформулированная система взаимозависимых факторов, ресурсы и условия, ограничивающие характер их использования.

Задача становится разрешимой при введении в нее определенных оценок как для взаимозависимых факторов, так и для ожидаемых результатов. Следовательно, оптимальность результата задачи программирования имеет относительный характер. Этот результат оптимален только с точки зрения тех критериев, которыми он оценивается, и ограничений, введенных в задачу.

Отталкиваясь от вышесказанного, для любых задач оптимального программирования характерны три следующих момента:

1) наличие системы взаимозависимых факторов;

2) строго определенный критерий оценки оптимальности;

3) точная формулировка условий, ограничивающих использование наличных ресурсов или факторов.

Из многих возможных вариантов выбирается альтернативная комбинация, отвечающая всем условиям, введенным в задачу, и обеспечивающая минимальное или максимальное значение выбранного критерия оптимальности. Решение задачи достигается применением определенной математической процедуры, которая заключается в последовательном приближении рациональных вариантов, соответствующих выбранной комбинации факторов, к единственному оптимальному плану.

Математически это может быть сведено к нахождению экстремального значения некоторой функции, то есть к задаче типа:

Найти max (min) f(x) при условии, что переменная х (точка х) пробегает некоторое заданное множество Х:

f(x) ® max (min), х I Х (4.1)

Определенная таким образом задача называется задачей оптимизации. Множество Х называется допустимым множеством данной задачи, а функция f(x) – целевой функцией.

Итак, оптимизационной является задача, которая состоит в выборе среди некоторого множества допустимых (т. е. допускаемых обстоятельствами дела) решений (Х) тех решений (х), которые в том или ином смысле можно квалифицировать как оптимальные. При этом допустимость каждого решения понимается в смысле возможности его фактического существования, а оптимальность – в смысле его целесообразности.

Очень многое зависит от того, в каком виде задается допустимое множество Х. Во многих случаях это делается с помощью системы неравенств (равенств):

q1 (х1, х2, … , хn) {? , = , ?} 0,

q2 (х1, х2, … , хn) {? , = , ?} 0, (4.2)

……………………………..

qm (х1, х2, … , хn) {? , = , ?} 0,

где q1, q2, … ,qm – некоторые функции, (х1, х2, … , хn) = х – способ, которым точка х задается набором из нескольких чисел (координат), являясь точкой n-мерного арифметического пространства Rn. Соответственно множество Х есть подмножество в Rn и составляет множество точек (х1, х2, … , хn) I Rn и удовлетворяющих системе неравенств (2.2.2).

Функция f(х) становится функцией n переменных f(х1, х2, … , хn), оптимум (max или min), который требуется найти.

Понятно, что следует найти не только само значение max (min) (х1, х2, … , хn), но и точку или точки, если их больше одной, в которых это значение достигается. Такие точки называются оптимальными решениями. Множество всех оптимальных решений называют оптимальным множеством.

Задача, описанная выше, есть общая задача оптимального (математического) программирования, в основе построения которой лежат принципы оптимальности и системности. Функция f называется целевой функцией, неравенства (равенства) qi (х1, х2, … , хn) {? , = , ?} 0, i = 1, 2, … , m – ограничениями. В большинстве случаев в число ограничений входят условия неотрицательности переменных:

х1 ? 0, х2 ? 0, … , хn ? 0,

или части переменных. Впрочем, это может быть и необязательным.

В зависимости от характера функций-ограничений и целевой функции различают разные виды математического программирования:

1. линейное программирование – функции линейны;

2. нелинейного программирования – хотя бы одна из этих функций нелинейна;

3. квадратичного программирования – f(х) является квадратичной функцией, ограничения линейны;

4. сепарабельное программирование – f(х) представляет собой сумму функций, различных для каждой переменной, условия – ограничения могут быть как линейными, так и нелинейными;

5. целочисленное (линейное или нелинейное) программирование – координаты искомой точки х являются только целыми числами;

6. выпуклое программирование – целевая функция – выпуклая, функции – ограничения – выпуклые, то есть рассматриваются выпуклые функции на выпуклых множествах и т. п.

Наиболее простым и часто встречающимся является случай, когда эти функции линейны и каждая из них имеет вид:

а1х1 + а2х2 + … аnхn + b ,

то есть имеет место задача линейного программирования. Подсчитано, что в настоящее время примерно 80-85% всех решаемых на практике задач оптимизации относятся к задачам линейного программирования.

Сочетая в себе простоту и реалистичность исходных посылок, этот метод вместе с тем обладает огромным потенциалом в области определения наилучших с точки зрения избранного критерия планов.

Первые исследования в области линейного программирования, ставившие своей целью выбор оптимального плана работы в рамках производственного комплекса относятся к концу 30-х годов нашего века и связаны с именем Л.В. Канторовича. В отечественной научной традиции именно его принято считать первым разработчиком этого метода.

В 30-е гг., в период интенсивного эко­номического и индустриального разви­тия Советского Союза, Канторович был в авангар­де математических исследований и стре­мился применить свои теоретические разработки в практике растущей совет­ской экономики. Такая возможность представилась в 1938 г., когда он был на­значен консультантом в лабораторию фанерной фабрики. Перед ним была по­ставлена задача разработать такой ме­тод распределения ресурсов, который; мог бы максимизировать производительность оборудования, и Канторович, сформули­ровав проблему с помощью математиче­ских терминов, произвел максимизацию линейной функции, подверженной боль­шому количеству ограничителей. Не имея чистого экономического образо­вания, он тем не менее знал, что максими­зация при многочисленных ограниче­ниях-это одна из основных экономиче­ских проблем и что метод, облегчающий планирование на фанерных фабриках, может быть использован во многих дру­гих производствах, будь то определение оптимального использования посевных площадей или наиболее эффективное распределение потоков транспорта.

Говоря о развитии этого метода на Западе, следует сказать о Тьяллинге Купмансе, американском экономисте-математике голландского происхождения.

В миссии торгового флота Купманс пытался так разработать маршруты флотов союзни­ков, чтобы снизить до минимума затра­ты на доставку грузов. Задача была крайне сложной: тысячи торговых судов везли миллионы тонн грузов по морским путям между сотнями портов, рассеян­ных по всему миру. Эта работа предоста­вила возможность Купмансу применить свои математические знания к решению фун­даментальной экономической проблемы – оптимальному распределению дефицитных ресурсов между конкурирующими потребителями.

Купманс разработал аналитическую методи­ку, названную анализом деятельности, которая решительно изменила подход экономистов и руководителей к распре­делению маршрутов. Впервые он описал эту методику в 1942 г., назвав ее «Соот­ношение между грузами на различных маршрутах» ("Exchange Ratios Between Cargoes on Various Routes"), где показал возможность подхода к проблеме рас­пределения как к математической про­блеме максимизации в пределах ограни­чений. Величина, подлежащая макси­мальному увеличению, - это стоимость доставленного груза, равная сумме стои­мостей грузов, доставленных в каждый из портов. Ограничения были представ­лены уравнениями, выражающими отно­шение количества расходуемых факто­ров производства (например, судов, вре­мени, труда) к количеству груза, достав­ленному в различные места назначения, где величина любой из затрат не должна превышать имеющуюся в распоряжении сумму.

При работе над проблемой максими­зации Купманс разработал математические уравнения, которые нашли широкое при­менение как в экономической теории, так и в практике управления. Эти уравнения определяли для каждой из затрат на про­изводство коэффициент, равный цене этой затраты в условиях идеальных кон­курентных рынков. Таким образом была установлена основополагающая связь между теориями эффективности про­изводства и теориями распределения че­рез конкурентные рынки. Кроме того, уравнения Купманса представляли большую ценность для центральных планирую­щих органов, которые могли использо­вать эти уравнения для определения со­ответствующих цен на различные затра­ты, оставляя при этом выбор оптималь­ных маршрутов на усмотрение местных директоров, обязанность которых со­стояла в максимизации прибыли. Метод анализа деятельности мог широко при­меняться любыми руководителями при планировании процессов производства.

В 1975 году Л.В. Канторовичу и Тьяллингу Ч. Купмансу была присуждена Нобелевская премия «за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов».

Говоря о первых исследованиях в области линейного программирования, нельзя также не упомянуть еще об одном американском ученом – Джордже Д. Данциге. Конкретная формулировка метода линейного программирования восходит к его работе, выполненной им по заказу ВВС США во время Второй Мировой войны, когда возникла проблема координации действий одной большой организации в таких вопросах, как накопление запасов, производство и содержание оборудования и материально-технического снаряжения, причем имелись альтернативы и ограничения. Кроме того, в свое время Дж. Данцинг работал совместно с В.В. Леонтьевым, и симплекс-метод решения линейных оптимизационных задач (наиболее часто применяемый для их решения) появился в связи с одним из первых практических применений метода межотраслевого баланса.

ВВЕДЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ
2.1 Параметры плана
2.2 Целевая функция (план)

3. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
3.1 Определение функции одной переменной и ее свойства
3.2 Исследование функции в экономике. Нахождение максимума прибыли
3.3 Определение глобального экстремума
3.4 Выпуклость, вогнутость функции
3.5 Критерий оптимальности
3.6 Идентификация оптимумов

4. ОДНОМЕРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
4.1 Методы исключения интервалов
4.1.1 Метод сканирования
4.1.2 Метод деления отрезка пополам
4.1.3 Метод золотого сечения
4.1.4 Сравнительная характеристика методов исключения интервалов
4.2 Полиномиальная апроксимация и методы точечного оценивания
4.2.1 Метод параболической апроксимации
4.2.2 Метод Пуэлла
4.3 Сравнение методов одномерного поиска

5. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
5.1 Функции многих переменных, их обозначение и область определения
5.2 Некоторые многомерные функции, используемые в экономике
5.3 Частные производные функции многих переменных
5.4 Экономический смысл частных производных
5.5 Частные производные высших порядков
5.6 Свойства функции нескольких переменных
5.7 Производная по направлению. Градиент. Линии уровня функции
5.8 Экстремум функции многих переменных

6. МНОГОМЕРНАЯ БЕЗУСЛОВНАЯ ГРАДИЕНТНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
6.1 Концепция методов
6.2 Метод градиентного спуска
6.3 Метод наискорейшего спуска

7. КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ
7.1 Задачи с ограничениями в виде равенств
7.2 Множители Лагранжа
7.3 Экономическая интерпретация множителей Лагранжа
7.4 Условия Куна-Таккера
7.4.1 Условия Куна-Таккера и задача Куна-Таккера
7.5 Теоремы Куна-Таккера
7.6 Условия существования седловой точки

8. МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
8.1 Предмет динамического программирования
8.2 Постановка задачи динамического программирования
8.3 Принцып оптимальности и математическое описание динамического процесса управления
8.4 Общая схема применения метода динамического программирования
8.5 Двумерная модель распределения ресурсов
8.6 Дискретная динамическая модель оптимального распределения ресурсов
8.7 Выбор оптимальной стратегии обновления оборудования
8.8 выбор оптимального маршрута перевозки грузов
8.9 Построение оптимальной последовательности операций в коммерческой деятельности

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ 1

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ 2

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ 3

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

Математизация различных областей знаний в настоящее время не является чем-то новым. Широкое внедрение математических методов в самые разнообразные сферы деятельности сегодня уже никого не удивляет. Это не только технические и экономические науки, где эти методы давно приносят свои плоды, но и развивающиеся сейчас разнообразные прикладные науки управления: менеджмент, принятие управляющих решений, социально-экономическое прогнозирование и т.д.

Прикладные науки развиваются своим путем, используя существующий математический аппарат для решения возникающих проблем, и даже своими потребностями стимулируют развитие некоторых разделов математики.

Настоящее пособие предназначено для студентов экономических специальностей, изучающих методы оптимизации. Поскольку для успешного усвоения материала по данному курсу необходим некоторый минимум знаний вопросов высшей математики, то пособие освещает эти моменты. Материал сопровождается соответствующими экономическими приложениями. Там, где приложения в экономике представляют самостоятельный интерес, они выделены в специальные разделы.

Учебное пособие не заменяет существующих учебных пособий академического плана, которые посвящены математическим аспектам вычислительных методов. Основная задача – знакомство с вычислительными методами как инструментом решения задач, получение ясного представления о логической структуре излагаемых методов, а также об их сравнительных преимуществах и недостатках.

При работе с пособием студент сначала знакомится с теоретическим материалом, затем изучает практическую часть, которая располагается непосредственно после теоретической части в каждом разделе. Каждая глава содержит контрольные вопросы, по которым студент может осуществить самоконтроль. После этого студент переходит к выполнению контрольной работы, предусмотренной программой. Затем контрольная работа направляется на рецензирование. В случае обнаружения ошибок рецензентом, выявления пробелов в знаниях рекомендуется еще раз вернуться к соответствующим разделам и проработать материал повторно, до полного усвоения.

Учебно-практическое пособие для системы дистанционного образования по дисциплине «Методы оптимизации и теория управления» предназначено для самостоятельной работы студента при нестационарной форме контроля знаний.

В рамках дисциплины выполняются три расчетно-графических задания студентами при пятилетнем курсе обучения, студенты, обучающиеся 3,5 года, выполняют два расчетно-графических задания – второе и третье. Решение аналогичных задач рассмотрено в теоретической и практической частях пособия.

После изучения курса студенты сдают зачет. Вопросы к зачету составляются на основе контрольных вопросов, указанных в конце каждого раздела пособия.

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Термин «оптимизация» имеет очень широкое употребление, а потому может зависеть от контекста. Оптимум (от лат. optimum – наилучшее) - совокупность наиболее благоприятствующих условий; наилучший вариант решения задачи или путь достижения цели при данных условиях и ресурсах. Экономический оптимум в широком смысле – наиболее эффективное функционирование производства, в узком – наилучшее использование материальных ресурсов, при котором достигается возможный максимальный эффект производства или возможный минимум затрат.

Оптимизация – это процесс выбора наилучшего варианта или процесс приведения системы в наилучшее (оптимальное) состояние, который состоит в нахождении всех максимизирующих или минимизирующих элементов или седловых точек. Оптимизация лежит в основе экономического анализа. В пассивных экономических моделях (таких, как изучающие общее равновесие) нас интересует оптимальное поведение лица, принимающего решение. В активных моделях (таких, как модели эффективного роста) мы сами заинтересованы в получении оптимума. В последние годы появилась тенденция к переходу от моделей типа «затраты – выпуск» к моделям анализа производственных процессов, от простейших моделей роста к моделям, изучающим траектории оптимального и эффективного роста.

Методы оптимизации – методы поиска экстремума функции (в практических задачах – критериев оптимальности) при наличии ограничений или без ограничений очень широко используются на практике. Это, прежде всего оптимальное проектирование (выбор наилучших номинальных технологических режимов, элементов конструкций, структуры технологических цепочек, условий экономической деятельности, повышение доходности и т.д.), оптимальное управление построением нематематических моделей объектов управления (минимизации невязок различной структуры модели и реального объекта) и многие другие аспекты решения экономических и социальных проблем (например, управление запасами, трудовыми ресурсами, транспортными потоками и т.д.).

Методы оптимизации являются разделом математического моделирования.

Эти темы охватывают широкий спектр различных задач математического моделирования, возникающих при исследовании реальных объектов промышленного производства, экономических, финансовых и других проблем.

Модель – это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте–оригинале.

Для того чтобы использовать математические результаты и численные методы теории оптимизации для решения конкретных задач, необходимо:

· установить границы подлежащей оптимизации системы;

· определить количественный критерий, на основе которого можно произвести анализ вариантов с целью выявления «наилучшего»;

· осуществить выбор внутрисистемных переменных, которые используются для определения характеристик и идентификации вариантов;

· построить модель, отражающую взаимосвязи между переменными.

Эта последовательность действий составляет содержание процесса постановки задачи оптимизации .

Рассмотрим некоторые встречающиеся в практической деятельности задачи математического моделирования в содержательной, а не в формальной математической трактовке.

Задачи оптимального распределения ресурсов. В общем ви­де эти задачи могут быть описаны следующим образом. Имеется некоторое количество ресурсов, под которыми можно понимать денежные средства, материальные ресурсы (например, сырье, по­луфабрикаты, трудовые ресурсы, различные виды оборудования и т.д.). Эти ресурсы необходимо распределить между различны­ми объектами их использования по отдельным промежуткам вре­мени или по различным объектам так, чтобы получить макси­мальную суммарную эффективность от выбранного способа распределения. Показателем эффективности может служить, на­пример, прибыль, товарная продукция, фондоотдача (задачи мак­симизации критерия оптимальности) или суммарные затраты, се­бестоимость, время выполнения данного объема работ и т.п. (задачи минимизации критерия оптимальности).

Имеется начальное количество средств Р 0 , которое необходи­мо распределить в течение п лет между S предприятиями. Сред­ства и ki (k = 1,..., n; i = 1,..., S) , выделенные в k-м году i-му пред­приятию, приносят доход в размере f ki (u ki) и к концу года возвращаются в количестве j ki (u ki) . В последующем распределе­нии доход может либо участвовать (частично или полностью), ли­бо не участвовать.

Требуется определить такой способ распределения ресурсов (количество средств, выделяемых каждому предприятию в каж­дом плановом году), чтобы суммарный доход от S предприятий за п лет был максимальным. Следовательно, в качестве показателя эффективности процесса распределения ресурсов за п лет прини­мается суммарный доход, полученный от S предприятий:

Количество ресурсов в начале k-го года будем характеризовать величиной P n 1 (параметр состояния). Управление на k-том шаге состоит в выборе переменных u k 1 , u k 2 , …, u ks , обозначающих ресурсы, выделяемые в k-том году i-му предприятию.

Если предположить, что доход в дальнейшем распределении не участвует, то уравнение состояния процесса имеет вид

Если же некоторая часть дохода участвует в дальнейшем рас­пределении в каком-нибудь году, то к правой части последнего равенства прибавляется соответствующая величина.

Требуется определить п s неотрицательных переменных и ki , удовлетворяющих условиям (2) и максимизирующих функ­цию (1).

Оптимальное управление запасами. Класс задач, в которых рассматривается оптимальное управление запасами, является од­ним из наиболее сложных. Это обусловлено тем, что в задачах управления запасами процесс, естественно, разворачивается во времени, причем управление заключается в том, что решение на данном промежутке времени принимается с учетом того состоя­ния, к которому пришла система за предшествующие периоды. Кроме того, эти задачи связаны, как правило, с дискретным харак­тером переменных и, следовательно, решаются довольно сложно.

Проблема управления запасами является одной из важнейших областей практического приложения экономико-математических методов, в том числе методов математического программирова­ния.

При формулировке задач управления запасами используют следующие понятия.

Запасы - это любые денежные или материальные ценности, которые периодически пополняются (производятся, доставляют­ся и т. д.) и некоторое время сохраняются с целью расходования их в последующие промежутки времени. Уровень запасов в лю­бой момент времени определяется начальным уровнем запасов плюс пополнение и минус расход за промежуток времени от на­чального момента до текущего.

Управление запасами в общем случае состоит в воздействии на соотношение между двумя основными факторами - пополне­нием и расходом. Цель управления - оптимизация некоторого критерия, зависящего от расходов на хранение запасов, стоимо­сти поставок, затрат, связанных с пополнением, штрафов и т. д.

В такой общей постановке подобные задачи могут иметь са­мое разнообразное практическое применение. Например, под за­пасами можно понимать продукцию предприятия, которая произ­водится непрерывно (пополнение) и отгружается потребителям определенными дискретными партиями (расход). При этом спрос на продукцию предполагается наперед заданным (детерминиро­ванный спрос) или подверженным случайным колебаниям (сто­хастическая задача). Управление запасами состоит в определении размеров необходимого выпуска продукции для удовлетворения заданного спроса. Цель - минимизация суммарных затрат на хранение и пополнение запасов.

Под запасами можно понимать запасы сырья или других мате­риалов, поставляемых дискретными партиями (пополнение), ко­торые должны обеспечить непрерывное потребление в процессе производства (расход). Критерием оптимальности могут служить суммарные затраты на хранение запасов, замораживание оборот­ных средств и поставки запасов.

Запасами могут быть товары, поставляемые в магазин опреде­ленными партиями и предназначенные для удовлетворения непрерывного, но подверженного случайным колебаниям поку­пательского спроса. Критерий оптимальности - суммарные за­траты на поставки, хранение запасов и изменение производствен­ного ритма; связи с вариациями спроса.

Запасами могут быть и сезонные товары, сохраняющиеся на складе ограниченной емкости. Товары можно покупать и прода­вать в различных количествах по ценам, меняющимся во време­ни. Задача состоит в определении политики покупок и продаж, обеспечивающих максимум суммарной прибыли, и является при­мером задачи складирования.

Задачи о замене. Одной из важных экономических проблем, с которыми приходится встречаться на практике, является опреде­ление оптимальной стратегии в замене старых станков, произ­водственных зданий, агрегатов, машин и т.д., другими словами, старого оборудования на новое.

Старение оборудования включает его физический и мораль­ный износ, в результате чего растут производственные затраты по выпуску продукции на старом оборудовании, увеличиваются за­траты на его ремонт и обслуживание, а вместе с тем снижаются производительность и так называемая ликвидная стоимость.

Наступает момент, когда старое оборудование более выгодно продать, заменить новым, чем эксплуатировать ценой больших затрат. При этом оборудование можно заменить либо новым обо­рудованием того же вида, либо новым, более совершенным в тех­ническом отношении с учетом технического прогресса.

Оптимальная стратегия замены оборудования состоит в опре­делении оптимальных сроков замены. Критерием оптимальности при определении сроков замены может служить либо прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует максимизировать, либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение рассматри­ваемого промежутка времени, подлежащие минимизации.

Задачи оптимального управления. Обычно к этому типу задач относят задачи, связанные с нахождением распределен­ного во времени непрерывного управляющего воздействия. В экономике это прежде всего задачи прогнозирования тенденций развития, долгосрочных инвестиций и др. Например задача опти­мизации суммарного фонда потребления, где в качестве управ­ляющего воздействия рассматривается величина инвестиций как функция времени (задача может быть сформулирована с учетом и без учета инвестиционного лага), задача максимизации дисконти­рованного потребления и т.д.

Все упомянутые классы задач (при этом их состав далеко не полон) требуют для своего решения применения специальных ма­тематических методов линейного и нелинейного программирова­ния, динамического программирования, принципа максимума и некоторых других. Составной частью вычислительных работ при решении рассмотренных проблем могут являться задачи решения нелинейных уравнений и их систем, вычисления интегралов, ре­шение дифференциальных уравнений и т.д.

Существует достаточно большое количество численных методов оптимизации. Основные из них можно классифицировать следующим образом:

· по размерности решаемой задачи: одномерные и многомерные;

· по способу формирования шага многомерные методы делятся на следующие виды:

q градиентные:

o по способу вычислений градиента: с парной пробой и с центральной пробой;

o по алгоритму коррекции шага;

o по алгоритму вычисления новой точки: одношаговые и многошаговые;

q безградиентные: с поочередным изменением переменных и с одновременным изменением переменных;

q случайного поиска: с чисто случайной стратегией и со смешанной стратегией;

· по наличию активных ограничений;

· без ограничений (безусловные);

· с ограничениями (условные);

· с ограничениями типа равенств;

· с ограничениями типа неравенств;

· смешанные.

Методы одномерной оптимизации являются базой для некоторых «многомерных» методов. В многомерной градиентной оптимизации строится улучшающая последовательность в зависимости от скорости изменения критерия по различным направлениям. При этом под улучшающей последовательностью понимается такая последовательность х 0 , х 1 , …, х i , …, в каждой точке которой значение критерия оптимальности лучше, чем в предыдущей. В безградиентных методах величина и направление шага к оптимуму при построении улучшающей последовательности формируется однозначно по определенным детерминированным функциям в зависимости от свойств критерия оптимальности в окрестности текущей точки без использования производных (т.е. градиента). Случайные методы используются в задачах высокой размерности. Многомерная условная оптимизация учитывает активные ограничения, выраженные в виде равенств и неравенств. В каждом из рассмотренных направлений имеется большое число методов, обладающих своими достоинствами и недостатками, которые зависят, прежде всего, от свойств функций, экстремум которых ищется. Одним из сравнительных показателей качества метода является количество значений функции, которое нужно вычислить для решения задачи с заданной погрешностью. Чем это число меньше, тем при прочих равных условиях эффективнее метод.

В теоретических и математических задачах принято рассматривать задачи оптимизации как задачи поиска минимума функции. Даже методы имеют общее название – методы спуска. Однако при решении реальных практических задач очень часто встречаются задачи и на максимум (например, максимизация дохода, объема выпуска и т.д.). Конечно, легко перейти от одного вида экстремума к другому путем смены знака у критерия оптимальности, но это делают в прикладных нематематических задачах не всегда, чтобы не терять содержательную нить задачи.

Вопросы к главе 1

1. Почему необходимо использование математики в экономике?

2. Что такое математическая модель?

3. Как строится математическая модель экономического явления и объекта? Приведите пример построения модели.

4. Что такое оптимизация?

5. Какие существуют методы оптимизации?

6. Какие экономические задачи решаются методами оптимизации?

Глава 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ

Термином «оптимизация» обозначают процесс, позволяющий получить уточненное решение. Хотя конечной целью оптимизации является отыскание наилучшего, или «оптимального», решения, обычно приходится довольствоваться улучшением известных решений, а не доведением их до совершенства. Поэтому под оптимизацией понимают скорее стремление к совершенству, которое, возможно, и не будет достигнуто.

Рассматривая некоторую произвольную систему, описываемую m уравнениями с n неизвестными, можно выделить три основных типа задач:

· если m = n , то з адачу называют алгебраической. Такая задача обычно имеет единственное решение;

· если m > n , то задача переопределена, как правило, не имеет решений ;

· если m < n , то задача недоопределена, имеет бесконечно много решений .

В практике чаще всего приходится иметь дело с задачами третьего типа.

Введем ряд определений.

2.1. Параметры плана

Определение. Параметры плана – это независимые переменные параметры, которые полностью и однозначно определяют решаемую задачу.

Это неизвестные величины, значения которых вычисляются в процессе оптимизации. В качестве проектных параметров могут служить любые основные или производные величины, служащие для количественного описания системы.

Например, в качестве параметров могут рассматриваться значения длины, массы, времени, температуры.

Число проектных параметров характеризует степень сложности данной задачи проектирования.

Обозначения. Обычно число проектных параметров обозначают через n, х – сами проектные параметры с соответствующими индексами

х 1 , х 2 , …, х n – n проектных параметров задачи.

2.2. Целевая функция (план)

Определение. Целевая функция – выражение, значение которого стремимся сделать максимальным или минимальным.

Целевая функция позволяет количественно сравнить два альтернативных решения. С математической точки зрения целевая функция описывает некоторую (n+1) -мерную поверхность.

1) Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить кривой на плоскости (рис. 1).

2) Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверхностью в пространстве трех измерений (рис. 2).

Определение. При трех и более проектных параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изображению обычными средствами.

Целевая функция в ряде случаев может быть представлена:

· кусочно-гладкой функцией;

· таблицей;

· только целыми значениями;

· двумя значениями – да или нет (дискретная функция).

В каком бы виде ни была представлена целевая функция, она должна быть однозначной функцией проектных параметров.

В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда одна из них может оказаться несовместимой с другой. Примером служит проектирование самолетов, когда одновременно требуется обеспечить максимальную прочность, минимальный вес и минимальную стоимость. В таких случаях конструктор должен ввести систему приоритетов. В результате получается «функция компромисса», позволяющая в процессе оптимизации пользоваться одной составной целевой функцией.

Вопросы к главе 2

1. Что такое параметры плана?

2. Приведите пример параметров плана.

3. Дайте определение целевой функции.

4. Как изображается целевая функция?